Lavare il riso, immergerlo per due minuti in molta acqua bollente e salata, poi terminare la cottura nel latte bollente e vanigliato, a casseruola coperta. Intanto caramellare uno stampo da charlotte con quindici cubetti di zucchero e due cucchiai d'acqua tiepida. Il caramello deve ricoprire interamente il fondo e i bordi dello stampo. Lasciar raffreddare il caramello. Tagliare a dischetti cinque banane e foderare lo stampo sino all'orlo. Tagliare le altre tre banane a pezzetti. Quando il riso a cotto, aggiungervi lo zucchero, il burro, le uova coi bianchi battuti a neve e il tuorlo incorporato, le banane a pezzetti. Profumare con il rum, mescolando delicatamente. Versare il riso nello stampo e mettere a forno caldo per circa mezz'ora. Fate raffreddare prima di togliere dallo stampo, ponendo su di un piatto largo per non disperdere il caramello.