Lavate il crescione e scegliete le foglioline piubelle. Preparate gli hamburger: riducete il filetto di manzo a fettine sottili, quindi sminuzzatelo finemente usando un coltello ben affilato. Dividete la carne in due parti uguali che porrete in due stampi appositi di 6 cm di diametro, riempiendoli per 3/4 circa della loro altezza. Pressate bene la carne, dopodicha sformate gli hamburger, poneteli in una padella con olio d'oliva caldo e fateli rosolare a fuoco vivo, 1-2 minuti per lato. Abbassate la fiamma e portate a cottura; al termine, togliete gli hamburger dal fuoco e teneteli in caldo. Fate schiumare il burro in un tegame e rosolatevi lo scalogno tritato finemente, a calore moderato per 3-4 minuti, senza fargli prendere colore. Cospargete il soffritto con sale e pepe e unitelo al prezzemolo tritato, posto in una terrinetta. Rompete le uova di quaglia su un piattino. Mescolate in una casseruola l'acqua, l'aceto e una presa di sale, portate a ebollizione e cuocetevi le uova di quaglia, facendole scivolare delicatamente dal piattino nel liquido. Lasciatele cuocere per 3 minuti, poi scolatele con una schiumarola, facendo attenzione a non romperle. A questo punto sbucciate le patate, tagliatele a fettine sottili e sagomate ciascuna di esse in modo che abbia una parte appuntita. Sovrapponete le fettine su un foglio di carta, lasciando all'esterno le punte, in modo da formare due fiori. Fate scaldare un cucchiaio d'olio in una padella e fate scivolare dentro i fiori di patata. Lasciateli cuocere a fuoco medio fino a quando saranno leggermente dorati, quindi cospargeteli con un pizzico di sale e poneteli in due piatti individuali. Adagiatevi sopra gli hamburger e copriteli con il miscuglio di scalogno e prezzemolo, qualche fogliolina di crescione e le uova di quaglia.